球面三角形余弦定理

平面几何中的三角形全等判定条件说明了平面三角形的唯一性,到了平面三角学,把这种唯一性定理提升到有效能算的角边函数关系。

其中最基本的就是三角形的余弦定理:设三角形ABC的三条边分别是a、b、c,它们的对角分别是,则其中,分别表示的余弦。

三角形的正弦定理:设三角形ABC的三条边分别是a、b、c,它们的对角分别是,则类似地,球面三角形也有有效能算的边角函数关系,其中最主要的结果就是球面三角的正弦定理和余弦定理。

为证明球面三角余弦定理,我们介绍有关向量的另一种乘积—外积。

两向量a与b的外积是一个矢量,记做a×b,它的模是|a×b|=|a||b|(a,b),它的方向与a,b都垂直,并且按a,b,a×b这个顺序构成右手标架。

对于向量的外积,有拉格朗日恒等式成立。

a×b)·(a’×b’)=(a·a’)·(b·b’)-(a·b’)·(b·a’)定理(球面三角余弦定理)在单位球面上,对于任给球面三角形,其三边和三角恒满足下述函数关系。

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